Triângulos de Diferença
Comece colocando números nos vértices de um triângulo. Em seguida, coloque as diferenças entre esses números no meio dos lados e forme um novo triângulo com essas diferenças. Continue esse processo e veja aonde isso te leva.
O DESAFIO
- Existem números iniciais para os quais isso continuará indefinidamente sem se repetir, ou sempre acaba se estabilizando em um padrão simples eventualmente?
- Se existe um padrão final simples, qual é ele?
- Para quais números iniciais o resultado final terá três zeros?
Notas
O DESAFIO
Primeiro, simplesmente experimente e veja o que acontece com diferentes grupos de números iniciais. Procure padrões e divirta-se com a experimentação. Aqui estão algumas observações que você pode fazer.
Observação 1: Se todos os números forem positivos, o número máximo diminuirá a cada rodada.
Como a diferença entre dois números positivos é menor que o maior deles, o número máximo deve diminuir.
As observações 2 a 4 são mais fáceis de testar por si mesmo do que ler sobre os motivos pelos quais são verdadeiras.
Observação 2: Se um dos números for 0 e os outros dois forem positivos e diferentes, a próxima rodada terá três números positivos e o número máximo será o mesmo da rodada anterior.
Observação 3: Se houver dois zeros e um número positivo, na próxima rodada esse número positivo aparecerá duas vezes e o terceiro número será 0.
Observação 4: Se um dos números for 0 e os outros dois forem iguais, todas as rodadas seguintes serão idênticas.
Portanto, reunindo essas observações, o número máximo em uma rodada diminuirá se não houver zeros e permanecerá o mesmo por uma rodada se houver um ou dois zeros. Isso significa que, independentemente do valor inicial, você eventualmente chegará a uma rodada com dois ou três zeros e, a partir daí, o valor não mudará.
Observação 5: A única maneira de terminar com três zeros é começar com três números iguais e chegar aos três zeros em uma única rodada.
Na primeira vez que três zeros aparecem, a rodada anterior deve ter tido três números positivos idênticos. Se você fizer alguns testes, verá que não há como produzir três números positivos idênticos usando diferenças de uma rodada anterior.