A întrece măsura
Aceste două dreptunghiuri au fost tăiate în jumătate folosind o linie roșie.
În dreptunghiul de 3 pe 5: linia roșie traversează 6 laturi ale unor pătrate mici. Verifică dacă ești de acord!
În dreptunghiul de 4 pe 6: linia roșie traversează și 6 laturi ale unor pătrate mici. (Nu numărăm locul unde linia trece prin colțul unui pătrat.)
PROVOCAREA
Iată un dreptunghi de 36 pe 42 care a fost tăiat în jumătate de o linie roșie. Câte laturi de pătrate mici va traversa linia roșie?
EXPLORARE
Ce se întâmplă cu dreptunghiurile de alte dimensiuni? Ce modele observi?
notițe
PROVOCAREA ȘI EXPLORAREA
O diagonală va trece printr-un colț al unei cutii exact atunci când schimbarea înălțimii și lățimii împarte în mod egal înălțimea și lățimea dreptunghiului.
Să luăm în considerare cutia de 4 pe 6 din introducere. Deoarece 2 este un divizor comun al numerelor 4 și 6, putem descompune cutia mai mare de 4 pe 6 într-o colecție de 2 pe 2 de cutii de 4/2 pe 6/2. Diagonala cutiei de 4 pe 6 va fi diagonala din 2 dintre cutiile de 2 pe 3 și va trece prin colțul dintre ele.
În celălalt exemplu introductiv al dreptunghiului de 3 pe 5, cel mai mare divizor comun este 1, deci diagonala nu trece prin niciun colț.
Să presupunem că dreptunghiul are dimensiunea de n pe m și că cel mai mare divizor comun al lui n și m este c.
c = 1: În acest caz, diagonala va intersecta toate cele n – 1 linii orizontale interne și toate cele m – 1 linii verticale interne. Deci, va intersecta un total de n + m – 2 laturi ale cutiei.
c > 1: Împărțim diagonala în c bucăți. Fiecare bucată a diagonalei va fi o diagonală pentru un dreptunghi de ordinul c x m/c, unde cel mai mare divizor comun al lui n/c și m/c este 1. Deci, fiecare bucată a diagonalei va intersecta n/c + m/c – 2 laturi ale cutiei. Toate bucățile împreună vor intersecta cx (n/c + m/c – 2) = n + m – 2c laturi ale cutiei.
Răspunsul general este n + m – 2c. Să aplicăm acest lucru la cele două exemple introductive și la problema problematică.
Pentru un dreptunghi de 3 pe 5, c va fi 1, iar răspunsul este 3 + 5 – (2 x 1) = 8 – 2 = 6.
Pentru un dreptunghi de 4 pe 6, c va fi 2, iar răspunsul este 4 + 6 – (2 x 2) = 10 – 4 = 6.
Pentru dreptunghiul provocator de 36 pe 42, c va fi 6, iar răspunsul este 36 + 42 – (2 x 6) = 78 – 12 = 66.