Placarea dreptunghiurilor
Ai două puzzle-uri. Pentru un dreptunghi de 1 pe n, în câte moduri îl poți umple cu un amestec de pătrate de 1 pe 1 și dreptunghiuri de 1 pe 2? Pentru un dreptunghi de 2 pe n, în câte moduri îl poți umple cu dreptunghiuri de 1 pe 2?
PROVOCAREA
De ce aceste două puzzle-uri dau aceleași răspunsuri? Care sunt răspunsurile când dreptunghiurile umplute au lungimea de 10? Dar când au lungimea de 20?
EXPLORARE
În ce fel se aseamănă aceste două probleme cu puzzle-urile anterioare? Cum se schimbă lucrurile în puzzle-ul 1 pe n dacă folosim în schimb piese 1 pe 1 și 1 pe 3? Cum se schimbă lucrurile în puzzle-ul 1 pe n dacă folosim piese 1 pe 1, 1 pe 2 și 1 pe 3?
notițe
PROVOCAREA
A vedea cum să aplici rezultatele anterioare la o parte sau la întregul puzzle nou este o abilitate puternică.
Aceste două puzzle-uri sunt exact de aceeași natură. Piesele verticale din dreptunghiul de 2 xn corespund unor piese de 1 pe 1 din dreptunghiul de 1 xn, iar piesele orizontale din dreptunghiul de 2 xn corespund unor piese de 1 pe 2 din dreptunghiul de 1 xn. Deci, nu există nicio diferență între cele două puzzle-uri.
De asemenea, puzzle-ul dreptunghiului de 1 xn este exact ca puzzle-ul cu pași din „Fibonacci – 2”. A merge pas cu pas este ca și cum ai pune un pătrat de 1 pe 1, iar a merge doi pași odată este ca și cum ai pune un dreptunghi de 1 pe 2. Cele două puzzle-uri sunt aceleași, deci analiza și rezultatele sunt aceleași.
EXPLORARE
Dacă folosim dreptunghiuri de 1 pe 1 și 1 pe 3, multe se schimbă. Priviți primele valori și gândiți-vă cum sunt calculate. Obținem 1, 1, 2, 3, 4, 6 și 9 pentru primele valori. În general, următoarea valoare este suma dintre valoarea curentă și cele două etape anterioare. Este destul de simplu de calculat, dar nu mai este șirul lui Fibonnaci.
Dacă folosim 1 la 1, 1 la 2 și 1 la 3, lucrurile se schimbă și mai dramatic. Acum primele valori sunt date de 1, 2, 4, 7, 13 și 24. Următoarea valoare din secvență este suma celor trei valori anterioare.
Secvențele de acest fel care își definesc următorii termeni printr-o formulă stabilită care implică termeni anteriori se numesc secvențe recursive. Numerele Fibonacci nu sunt singurele secvențe recursive, dar sunt probabil cele mai faimoase.