Dreptunghiuri perfecte – 1
Un dreptunghi care poate fi umplut cu pătrate, dintre care niciuna nu are aceeași dimensiune, se numește dreptunghi perfect. Iată un exemplu de dreptunghi perfect de 47 pe 65 umplut cu 10 pătrate de dimensiuni diferite.
PROVOCAREA
Găsiți dimensiunile pătratelor din acest dreptunghi perfect de 33 pe 32, umplut cu 9 pătrate.
notițe
PROVOCAREA
Elevii pot măsura diagrama cu atenție pentru a calcula dimensiunile, dar, sperăm, se vor bucura în schimb de provocarea rezolvării problemei.
Un bun loc de început este cu cele șase pătrate din colțul din stânga jos.
Fie n dimensiunea celui mai mic pătrat, iar x dimensiunea pătratului din mijlocul rândului de jos (numit pe scurt MB).
Pătratele care înconjoară cel mai mic pătrat cresc în dimensiune cu n pe măsură ce se învârt în jurul celui mai mic pătrat. Pătratul de deasupra lui MB are dimensiunea x – n, iar pătratul din colțul din stânga jos are dimensiunea x + n. De asemenea, pătratul din colțul din dreapta jos are dimensiunile combinate ale lui MB și ale pătratului de deasupra lui MB, deci dimensiunea sa este x + (x – n) = 2x – n. Dimensiunile pătratelor de pe „rândul” de jos al acestei diagrame se adună la 32, deci 32 = (x + n) + x + (2x – n) = 4x, ceea ce înseamnă x = 8.
Stiva de-a lungul laturii stângi jos are înălțimea de (x + n) + (x + 2n) = 2x + 3n. Stiva de trei pătrate din mijlocul jos are x + (x - n) + pătratul din mijloc = 2x – n + pătratul din mijloc. Deoarece 2x + 3n = 2x – n + pătratul din mijloc, pătratul din mijloc are dimensiunea de 4n. Dacă n este 2, am avea două pătrate de dimensiunea de 8. Dacă n este 3 sau mai mare, pătratul din mijloc ar fi prea mare. Deci, n = 1.
Cu x = 8 și n = 1, și știind dimensiunea dreptunghiului ca fiind 33 pe 32, completarea restului pătratelor este automată.
