Равные суммы – 4
CHALLENGE
Вот диаграмма, созданная путем наложения четырех кругов. Наложенные круги образуют восемь областей. В каждую из восьми областей поместите число, используя каждое число от 1 до 8 ровно один раз, так чтобы сумма чисел в каждом круге была одинаковой.
РАЗВЕДКА
Сколько разных ответов вы можете найти? Как вы думаете, есть ли ещё какие-нибудь? Что произойдёт, если использовать другие диапазоны чисел? Существуют ли ещё подобные интересные задачи с пересекающимися окружностями?
Заметки
ВЫЗОВ И ИССЛЕДОВАНИЕ
Начнем с определения возможных сумм для всех окружностей. Пусть Sum — это значение. Пусть A, B, C и D — значения четырех областей, где пересекаются две окружности. Сумма четырех окружностей равна 4 x Sum, а также 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D. Тогда мы получаем уравнение 4 x Sum = 36 + A + B + C + D, следовательно, Sum = 9 + (A + B + C + D) / 4. Наименьшее значение A + B + C + D равно 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Это значение должно быть делимым, поэтому его наименьшее возможное значение равно 12, а это значит, что наименьшее возможное значение Sum = 9 + 12/4 = 12.
Обратите внимание, что любое решение можно превратить в другое решение, вычитая все элементы из 9. В результате старая сумма превратится в 27 – Сумма. Следовательно, единственно возможными значениями для Суммы являются 12, 13, 14 и 15. Поскольку 12 и 15 связаны между собой, а 13 и 14 связаны между собой, нам нужно проверить решения только для 12 и 13.
Вот решения для суммы со значениями 12 и 13. Оказывается, это единственные решения для этих двух сумм.
Обратите внимание, что числа в центрах не соприкасающихся друг с другом окружностей в сумме дают одно и то же. Например, на самом левом рисунке 8 + 4 = 5 + 7. Докажите это с помощью алгебры. Пусть K и L — значения в центрах двух противоположных окружностей, а M и N — два других значения. Если мы сложим площади двух окружностей для K и L, получим 2 х Сумма = K + L + (A + B + C + D). Аналогично, сложив площади двух окружностей для M и N, получим 2 х Сумма = M + N + (A + B + C + D). Это означает, что K + L = M + N.
Также обратите внимание, что поскольку 4 x Сумма = 36 + A + B + C + D, мы получаем 2 x Сумма = M + N + (4 x Сумма – 36). Переписав это, получаем M + N = 36 – 2 x Сумма. Для наших четырех значений Суммы, от 12 до 15, значения M + N равны 12, 10, 8 и 6.
Поскольку 12 = 4 + 8 = 5 + 7 — единственные способы получить 12, приведенное выше решение для суммы = 12 является единственным правильным решением. Хотя 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 предполагает наличие большего количества вариантов для суммы = 13, быстрая проверка трех возможных пар (2, 8), (3, 7) и (4, 6) показывает, что приведенное выше решение является единственным правильным для суммы = 13.