Заполнение треугольников треугольниками
Правильный треугольник — это треугольник , у которого все стороны и углы равны (он равносторонний и равноугольный). Вот как заполнить один большой правильный треугольник 1, 4 или 7 правильными треугольниками.
CHALLENGE
Найдите другие значения количества правильных треугольников, необходимых для заполнения большого правильного треугольника. Сможете ли вы сделать это для 2, 3, 5, 6, 8, 9 или 10 правильных треугольников?
РАЗВЕДКА
По возможности, найдите несколько способов получения некоторых из этих чисел.
Заметки
CHALLENGE
Вот систематический способ подсчета различных значений.
Квадраты: Хорошим началом будет работа с квадратными числами. Легко заполнить треугольник числами 1, 4 и 9, используя правильный шаблон, показанный на следующем рисунке.
Четные числа: После некоторых экспериментов вы можете создать узоры для 6, 8, 10 или любого другого большего четного числа следующим образом. Начните с большого треугольника, а затем расположите треугольники меньшего размера вдоль одной стороны.
Замена одного треугольника: Следующий важный шаг — показать, что любой треугольник в решении может быть заменен любым другим существующим решением. Например, это было сделано при создании шаблона для числа 7 во введении — треугольник в центре для числа «4» был заменен четырьмя меньшими треугольниками, чтобы получить число «7».
Каждый раз, когда один треугольник заменяется четырьмя, общее количество треугольников увеличивается на 3. Начнём со списка решений, используя квадратные и чётные числа: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 и 16, а затем добавим 3 к каждому элементу этого списка, чтобы получить 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 и 17. Объединив эти два списка, получим все возможные варианты до 17 включительно: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 и 17. Используя эти идеи, любое число больше 17 решается достаточно легко, и поэтому мы приходим к выводу, что:
Ответ: Возможны все числа, кроме 2, 3 и 5.
РАЗВЕДКА
Некоторые из этих чисел можно получить несколькими способами. Например, число 9 можно представить в виде последовательности 3 на 3 или как 6 плюс еще три. Конечно, есть и другие интересные способы заполнить треугольник, которые еще предстоит открыть.