Самоописывающие числа – 2
Число 1210 является самоописывающим числом, поскольку каждая цифра в порядке возрастания указывает, сколько цифр этого типа существует – 1 0, 2 1, 1 2 и 0 3. Аналогично, 2020 является самоописывающим числом, поскольку в нем 2 0, 0 1, 2 2 и 0 3.
CHALLENGE
Найдите самоописывающее число, состоящее из семи цифр.
РАЗВЕДКА
Почему не существует самоописывающих чисел с 6 цифрами?
Заметки
ВЫЗОВ И ИССЛЕДОВАНИЕ
Игривый, неорганизованный подход к этому вполне допустим и должен поощряться.
Вот несколько полезных результатов из «Заметок о самоописывающих числах – 1»:
Результат 1: Сумма цифр равна количеству цифр.
Результат 2: Сумма произведений равна количеству цифр.
Результат 3: Самая правая младшая цифра, цифра единиц, равна 0.
Результаты 4 и 5: Старшая цифра в числах, содержащих не менее пяти цифр, должна быть не менее 2.
Между результатами 1 и 2 существует принципиальное противоречие. Чтобы эти суммы оставались неизменными, необходимо увеличить количество нулей. Например, на каждую двойку должен приходиться один дополнительный ноль, на каждую тройку — два дополнительных нули, на каждую четверку — три дополнительных нули и так далее. Именно поэтому большинство самоописывающих чисел содержат много нулей.
Предположим, старшая цифра равна 2, то есть всего два нуля. Для пятизначного числа это означает, что в нем три ненулевые цифры. В книге «Самоописывающие числа – 1» мы обнаружили, что единственным решением было число 21200. Для шестизначного числа в нем было бы четыре ненулевые цифры. Кроме того, поскольку сумма цифр должна равняться шести, это привело бы к тому, что в числе оказалось бы две единицы и две двойки. Ни один из способов смешивания двух единиц и двух двойок не работает. То же самое происходит и с более длинными числами, содержащими два нуля. Получается:
Результат 6: Старшая цифра в числах, содержащих не менее шести цифр, должна быть не менее 3.
Давайте продолжим экспериментировать с количеством нулей. Какое количество будет слишком большим? Предположим, что количество нулей находится в пределах трех от общего числа цифр. Это оставит максимум две ненулевые цифры. Одна из них будет единицей, если количество нулей велико. Единственным другим возможным ненулевым значением будет количество единиц, что не подходит. Мы получаем еще один результат:
Результат 7: Для чисел, содержащих не менее шести цифр, количество ненулевых элементов должно быть больше 3.
Если объединить результаты 6 и 7, то окажется, что для шестизначных чисел решений не существует. Удивительно, что это работает для самоописывающих чисел с 5 или 7 цифрами, но не для чисел с 6 цифрами.
Для семизначных чисел совпадение значений 6 и 7 гарантирует, что, если решение существует, количество нулей равно 3. Сумма остальных элементов числа должна составлять 4. Несколько быстрых экспериментов быстро приводят к ответу.
Ответ: 3211000!