Трапецеидальные числа – 4
Трапецеидальные числа — это сумма двух или более последовательных чисел. Свое название они заслужили потому, что из такого количества точек можно составить трапецию, как показано в примерах ниже. Обратите внимание, что наличие одной точки в верхнем ряду несколько выходит за рамки представления о трапеции, но для этих чисел это допустимо.
CHALLENGE
Какие числа можно выразить в виде трапеции ровно одним способом?
РАЗВЕДКА
Можно ли предсказать, сколькими способами число может быть представлено в виде трапеции?
Заметки
ВЫЗОВ И ИССЛЕДОВАНИЕ
Чтобы лучше понять это, перечислите все способы записи чисел в виде суммы последовательных чисел. Запись множества примеров часто является хорошим способом поиска закономерностей и получения новых идей.
- 1: Нет
- 2: Нет
- 3:1+2
- 4: Нет
- 5:2+3
- 6: 1 + 2 + 3
- 7:3+4
- 8: Нет
- 9: 4 + 5; 2 + 3 + 4
- 10: 1 + 2 + 3 + 4
- 11:5+6
- 12: 3 + 4 + 5
- 13:6+7
- 14: 2 + 3 + 4 + 5
- 15: 7 + 8; 4 + 5 + 6; 1 + 2 + 3 + 4 + 5
- 16: Нет
- 17:8+9
- 18: 5 + 6 + 7; 3 + 4 + 5 + 6
- 19:9+10
- 20: 2 + 3 + 4 + 5 + 6
Существует закономерность, которую легко заметить, и другие закономерности, которые сложнее распознать.
Вычисления 1, 2, 4, 8 и 16 невозможны. Поэтому разумно предположить, что степени числа 2 не являются трапециевидными числами.
У числа 9 есть два способа его получить, у числа 15 — три, а у числа 18 — два. Для каждого из этих способов количество способов равно количеству нечётных чисел, которые делят это число нацело! Все эти соображения приводят к следующей гипотезе:
Гипотеза: Количество способов записать число в виде суммы последовательных чисел равно количеству нечетных делителей, больших единицы этого числа.
На этом пока достаточно. Если кто-то из ваших учеников заметил эти закономерности, это замечательно! Мы подробнее рассмотрим это в примечаниях к следующей головоломке недели.