交叉線
這兩個長方形被紅線切成兩半。
在這個3×5的長方形中：紅線穿過了6個小正方形的邊。請檢查你是否同意！
在4×6的長方形中：紅線也穿過了6個小正方形的邊。 （我們不計算紅線穿過正方形角的情況。）
的挑戰
這是一個長36寬、寬42寬的長方形，被一條紅線分成兩半。這條紅線會穿過幾個小正方形的邊？
勘探
其他尺寸的矩形會發生什麼情況？你觀察到了什麼規律？
筆記
挑戰與探索
當高度和寬度的變化量恰好平分矩形的高度和寬度時，對角線將正好穿過矩形的一個角。
考慮引言中的 4×6 方格。因為 2 是 4 和 6 的公因數，我們可以將這個較大的 4×6 方格分割成若干個 2×2 的小方格，每個小方格又由 4/2×6/2 小方格組成。 4×6 方格的對角線恰好是其中兩個 2×3 小方格的對角線，並且穿過這兩個小方格的交點。
在另一個 3×5 矩形的入門範例中，最大公約數為 1，因此對角線不經過任何角落。
假設矩形的長度為 n，寬為 m，且 n 和 m 的最大公約數為 c。
c = 1：在這種情況下，對角線將穿過所有 n – 1 條內部水平線和所有 m – 1 條內部垂直線。因此，它將總共穿過 n + m – 2 個盒子邊。
c > 1：將對角線分成 c 段。每段對角線都是一個長為 n/c、寬為 m/c 的矩形的對角線，其中 n/c 和 m/c 的最大公約數為 1。因此，每段對角線將穿過 n/c + m/c – 2 個矩形邊。所有段加起來將穿過 c × (n/c + m/c – 2) = n + m – 2c 個矩形邊。
一般答案是 n + m – 2c。讓我們將此應用於兩個入門範例和挑戰性謎題。
對於一個 3×5 的長方形，c 為 1，答案是 3 + 5 – (2×1) = 8 – 2 = 6。
對於一個 4×6 的長方形，c 為 2，答案是 4 + 6 – (2×2) = 10 – 4 = 6。
對於挑戰 36 x 42 的矩形，c 為 6，答案為 36 + 42 – (2 x 6) = 78 – 12 = 66。