Oktober 2026

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„Als Dozent für Mathematiklehrkräfte arbeite ich regelmäßig mit Kindern von der ersten Klasse bis hin zu Universitätsstudenten und freue mich jede Woche über die „Weekly Wonder“-Rätsel. Ich habe mich für alle angemeldet! ​​Obwohl die Rätsel für die Klassenstufen K-2 gekennzeichnet sind, finde ich sie für alle Altersgruppen unterhaltsam … sie sind gerade so einfach, dass auch Kindergartenkinder sie lösen können. Es gibt wunderbare Verbindungen zwischen den verschiedenen Klassenstufen und Themen, die sich von Woche zu Woche weiterentwickeln. Wer ein Rätsel mag, kann vielleicht sogar selbst Erweiterungen entwickeln. Probieren Sie sie aus – für Ihre Schüler oder für sich selbst!“ – John Golden, Mathematikprofessor an der GVSU.

Rep-tiles

Es gibt viele spielerische Möglichkeiten für Kinder, Formen mit kleineren Formen zu füllen. Typischerweise handelt es sich dabei um Polygone, das muss aber nicht so sein.

Jüngere Kinder können mit Musterblöcken Muster und freie Formen gestalten. Sie können sich sogar an technischen Herausforderungen versuchen und herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, ein großes Dreieck oder Sechseck mit Musterblöcken zu füllen. Ähnliches lässt sich mit Tangrams oder Pentominos machen. Eine weitere Möglichkeit ist das Parkettieren ebener Flächen mit einer oder mehreren Formen (sogenannte Tessellationen). Ich habe einige dieser Themen in unserem Newsletter vom Dezember 2024 behandelt.

In diesem Newsletter möchte ich untersuchen, was passiert, wenn man eine Form mit kleineren Versionen von sich selbst füllt. Wenn dies überhaupt möglich ist, nennt man die Form „Rep-Kachel“ – ich gebe zu, Mathematiker haben einen etwas eigenwilligen Humor. Die Rep-Kachel „Sphinx“, die mit vier Kopien von sich selbst ausgefüllt ist, ist oben abgebildet.

Bei einer Rep-Fliese sind regelmäßige Fliesen solche, bei denen alle Formen die gleiche Größe haben; unregelmäßige Fliesen sind solche, die nicht regelmäßig sind; und perfekte Fliesen sind unregelmäßige Fliesen, bei denen keine zwei Formen die gleiche Größe haben.

Wir betrachten nur kindgerechte Beispiele, bei denen die Größen der einzelnen Teile ganzzahlige Vielfache voneinander sind.

Genug der Definitionen und Beschreibungen, schauen wir uns einige Beispiele an.

Quadrate, Rechtecke und regelmäßige Dreiecke

Es gibt viele interessante Fragen zum Ausfüllen von Rep-Kacheln. Viele davon sind bereits Teil der EFM-Wochenrätsel. Wir werden das Thema auch noch etwas erweitern, indem wir uns mit dem Ausfüllen eines Quadrats mit Rechtecken oder eines Rechtecks ​​mit Quadraten beschäftigen.

Thema 1: Wenn man ein Quadrat mit Quadraten füllt, wie viele Quadrate sind dann möglich? Was passiert bei regelmäßigen, unregelmäßigen und perfekten Parkettierungen?

Die Frage, wie viele Quadrate in unregelmäßigen Parkettierungen vorkommen können, ist Gegenstand des EFM-Rätsels „ Quadrate mit Quadraten füllen “. Obwohl es für ein recht junges Kind verständlich ist, erfordert es die Geduld und Ausdauer eines etwas älteren Kindes, um das Rätsel zu lösen, oder zumindest die Unterstützung eines Erwachsenen. Perfekte Parkettierungen sind sehr schwer zu finden. Ich überlasse es Ihnen, alle regelmäßigen Parkettierungen eines Quadrats zu untersuchen.

Thema 2: Wenn man ein regelmäßiges Dreieck mit solchen Dreiecken füllt, wie viele Dreiecke sind dann möglich? Was passiert bei regelmäßigen, unregelmäßigen und perfekten Parkettierungen?

Etwas überraschend ist dies sehr ähnlich zu dem, was bei Quadraten in Thema 1 passiert. Die Frage, wie viele regelmäßige Dreiecke auftreten können, ist das EFM-Rätsel „ Dreiecke mit Dreiecken füllen “ .

Thema 3: Können Sie die Größen der Quadrate bestimmen, wenn Ihnen eine Zeichnung eines mit Quadraten gefüllten Rechtecks ​​gegeben wird?

Es kann eine knifflige Angelegenheit sein, ein Quadrat oder Rechteck mit Quadraten unterschiedlicher Größe perfekt auszufüllen. Hier sind ein paar hilfreiche Ressourcen zu diesem Thema. Der Wikipedia-Artikel „ Quadrat des Quadrats “ bietet eine wunderbare Sammlung von Illustrationen, Beschreibungen und Hinweisen zu verschiedenen Möglichkeiten, Quadrate zu zerlegen. Eine noch umfangreichere Sammlung finden Sie auf „ Squaring.net “ – dort entdecken Sie mehr Ideen zu diesem Thema, als Sie je für möglich gehalten hätten.

Die Größen der Quadrate anhand einer vorhandenen Zeichnung zu bestimmen, ist jedoch weitaus weniger schwierig und kann ein unterhaltsames Rätsel sein. Zwei Beispiele hierfür finden Sie in den EFM-Rätseln der Woche „ Perfekte Rechtecke – 1 “ und „ Perfekte Rechtecke – 2 “.

Thema 4: Kann man ein Quadrat so mit Rechtecken füllen, dass der Flächenunterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Rechteck minimiert wird? Dies ist das Mondrian-Kunsträtsel von Gordon Hamilton.

Diese Aufgabe ist das EFM-Rätsel „ Quadrate mit verschiedenen Kästchen füllen “. Ein schöner Aspekt dieses Rätsels ist, dass man immer wieder darauf zurückkommen kann, um zu sehen, ob man seine vorherige Arbeit verbessern kann, und es gibt viel Raum für den Austausch von Ideen mit anderen.

Mehr Rep-Kacheln

Nun ist es an der Zeit, sich mit etwas exotischeren Rep-Tiles zu beschäftigen. Es gibt viel zu viele Rep-Tile-Formen, als dass ich auch nur eine repräsentative Auswahl vorstellen könnte. Im Folgenden finden Sie einige der einfacheren Beispiele, mit denen Kinder arbeiten können. Einen umfassenderen Katalog finden Sie auf der Wikipedia-Seite zu „ Rep-Tile “-Formen. Rep-Tiles sind ein relativ neues Thema für mich, daher sind die folgenden Fragen nicht in die EFM-Rätsel der Woche aufgenommen worden.

Thema 5: Wenn man eine L-förmige Fläche aus 3 Quadraten mit kleineren L-förmigen Flächen füllt, wie viele L-förmige Flächen sind dann möglich?

Das Zählen der möglichen L-Formen aus drei Quadraten ist etwas kniffliger als bei den Quadraten und Dreiecken in den Themen 1 und 2. Lassen Sie Ihr Kind damit experimentieren, bevor Sie ihm die obigen Diagramme zeigen.

Anhand dieser Bilder wissen wir, dass 1, 4 und 9 möglich sind. Mit der 4er-Variante können wir jede einzelne L-Form durch vier L-Formen ersetzen – das bedeutet, dass jede Zahl der Form 1 + 3n möglich ist. Analog dazu zeigt uns das 9er-Diagramm, dass jede Zahl der Form 1 + 8m möglich ist. Kombiniert man beides, so ist jede Zahl der Form 1 + 3n + 8m möglich. Fragen Sie Ihr Kind, welche Zahl die erste ist, bei der keine Lücken mehr in der Kachelung vorhanden sind – dies wird liebevoll als das Chicken-McNugget-Problem bezeichnet.

Thema 6: Wenn man eine L-förmige Fläche aus vier Quadraten mit kleineren L-förmigen Flächen füllt, wie viele L-förmige Flächen sind dann möglich? Hier sind drei Beispiele.

Thema 7: Wenn man eine 5-Quadrat-Utah-Form (ein 2x2-Quadrat mit einem 1x1-Quadrat oben drauf) mit kleineren Utah-Formen füllt, wie viele Utah-Formen sind dann möglich?

Thema 8: Alle Dreiecke sind Rep-Kacheln. Dies lässt sich unter anderem erkennen, indem man die Mittelpunkte eines beliebigen Dreiecks verbindet, um es in vier kleinere Kopien von sich selbst zu unterteilen.

Hier sind zwei Beispiele für Rep-Kacheln, die rechtwinklige Dreiecke mit zwei Seitenlängen ganzer Zahlen darstellen. Die Dreiecke in der ersten Reihe haben die Seitenlängen 1 – √3 – 2, die Dreiecke in der zweiten Reihe 1 – 2 – √5. Es gibt noch weitere rechtwinklige Dreiecke, die interessante Parkettierungen ergeben, aber im Allgemeinen ist dies für Grundschüler zu komplex.

Einpacken

Ich hoffe, Sie hatten viel Spaß mit diesen Rep-Tiles und entdecken noch weitere Möglichkeiten, die sie bieten. In einigen meiner nächsten Newsletter zeige ich Ihnen, wie man durch Falten, Schneiden oder Weben von Papier spielerische Formen gestalten kann. Ich freue mich schon darauf, tiefer in dieses Material einzutauchen und es gemeinsam mit Ihnen zu erkunden!