Brüche – 12
DIE HERAUSFORDERUNG
Verwenden Sie die Zahlen 1 bis 9 in jedem Kästchensatz höchstens einmal.
Zuerst machen
gleich 2/3, und dann Werte finden, die
so nah wie möglich an 5/11.
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Ich werde den Ausdruck als A/B x C/D schreiben, um die Diskussion zu vereinfachen.
Teil 1: A/B × C/D = 2/3. Multipliziert man beide Seiten mit 3 × B × D, erhält man 3 × A × C = 2 × B × D. Betrachtet man dies mit den Primfaktoren 2 und 3, so müssen diese auf beiden Seiten der Gleichung ausgeglichen sein. Aus 3, 6 und 9 ergeben sich vier Faktoren von 3. Aus 2, 4, 6 und 8 ergeben sich sieben Faktoren von 2. Es gibt zwei Möglichkeiten, mit den Dreien umzugehen.
- Fall 1: Weder A noch C ist 3 oder 6, und B ist 3 oder 6.
- B=3: 3 x A x C = 2 x 3 x D reduziert sich auf A x C = 2 x D. Lösungen dazu sind 1 x 4 = 2 x 2, 1 x 8 = 2 x 4.
- B=6: 3 x A x C = 2 x 6 x D vereinfacht sich zu A x C = 4 x D. Die Lösung hierfür ist 1 x 8 = 4 x 2.
- Fall 2: A ist 3 oder 6, und B ist 9.
- A=3: 3 x 3 x C = 2 x 9 x D reduziert sich auf C = 2 x D – die Möglichkeiten für (C, D) sind (2, 1), (4, 2) und (8, 4).
- A=6: 3 x 6 x C = 2 x 9 x D reduziert sich auf C = D, was unmöglich ist.
Die Lösungen des Problems lauten also:
- (1 x 4) / (3 x 2)
- (1 x 8) / (3 x 4)
- (1 x 8) / (6 x 2)
- (3 x 2) / (9 x 1)
- (3 x 4) / (9 x 2)
- (3 x 8) / (9 x 4)
Teil 2: A/B × C/D ≈ 5/11. Multipliziere beide Seiten mit 11 × B × D, um daraus 11 × A × C ≈ 5 × B × D zu machen. Wir suchen Vielfache von 11, die nahe an Vielfachen von 5 liegen und sich mit den Zahlen von 1 bis 9 darstellen lassen.
Hier ist die Liste der zu berücksichtigenden Zahlen. Es handelt sich um Vielfache, die sich um 1 unterscheiden und mit den Zahlen von 1 bis 9 darstellbar sind: 11 × 4 ≈ 8 × 5; 11 × 9 ≈ 20 × 5; und 11 × 16 ≈ 35 × 5. Je größer die Zahlen sind, desto besser. Schauen wir uns also die letzte Zahl genauer an.
(2 x 8) / (5 x 7) = 16 / 35 ist sehr nahe an 5/11 – sie unterscheiden sich um 1 / (35 x 11) = 1 / 385.
Vielleicht funktionieren Vielfache mit einem Abstand von zwei oder drei besser? Es scheint keine Kandidaten zu geben, die eine Verbesserung darstellen würden.