Estrellas y bucles dentro de círculos
Coloca algunos alfileres espaciados uniformemente alrededor de un círculo. En la imagen de abajo se muestran círculos con 8 y 9 alfileres. Crea una estrella estableciendo un intervalo de salto y uniendo un hilo de un color entre los alfileres, usando ese intervalo. Por ejemplo, en la tercera imagen de la primera fila, se salta 3 cada vez y se conectan los números 0, 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5 y 0. En ese ejemplo, un solo bucle de hilo conecta todos los números. En otros ejemplos, se necesitaron varios bucles de hilo para conectar todos los números.
EL RETO
Supongamos que tienes 12 clavijas espaciadas uniformemente alrededor de un círculo. Para cada cantidad de saltos, calcula cuántos bucles de cuerda necesitarás y cuántos números habrá en cada bucle. ¿Qué observas sobre la longitud de los bucles?
EXPLORACIÓN
Investiga qué sucede con otras cantidades de pines. ¿Puedes predecir qué ocurrirá con las longitudes de los bucles y la cantidad de bucles para una cantidad determinada de pines y una cantidad de saltos?
Notas
EL RETO
Para 12 pines, ocurre lo siguiente para las diferentes cantidades de saltos:
Antes de examinar la tabla, conviene observar que la longitud del bucle es la misma para todos los bucles para una cantidad de saltos determinada.
En esta tabla destacan algunos aspectos. Quizás el más evidente sea que el número de bucles multiplicado por su longitud siempre da como resultado el número de pines. Otro aspecto es que es simétrica respecto a la columna del "6".
Si observas el MCD (o MCD) del número de pines (12) y la cantidad de saltos, ¡notarás que siempre es el mismo que el número de bucles!
EXPLORACIÓN
Las observaciones de "El Desafío" deben ser analizadas en profundidad.
- Para una cantidad de saltos y un número de pines dados, ¿por qué todos los bucles tienen la misma longitud? Comencemos con el bucle que empieza en 0 y termina en 0. Cada número en el bucle que empieza en 1 será 1 más que los del bucle que empieza en 0, por lo que el bucle que empieza en 1 tendrá la misma longitud. La misma lógica se aplica a cualquier punto de partida.
- Para una cantidad determinada de saltos y número de pines, ¿por qué el producto del número de bucles y la longitud de cada bucle es igual al número de pines? Los bucles no pueden superponerse e incluyen todos los números, por lo que este resultado se deduce fácilmente.
- ¿Por qué el máximo común divisor (MCD) de la cantidad de saltos y el número de pines es igual al número de bucles? Primero, observe que todos los números en el bucle que comienza en 0 son exactamente múltiplos del MCD. Después, la explicación del punto (1) deja claro que habrá esa cantidad de bucles antes de que comiencen a repetir su contenido.
- ¿Por qué la tabla es simétrica respecto a la columna central? Esta simetría se debe a que el máximo común divisor (MCD) es simétrico. MCD(n, k) = MCD(n, n – k), donde n es el número de pines y k es la cantidad de saltos.