Números trapezoidales – 4
Los números trapezoidales son la suma de dos o más números consecutivos. Reciben este nombre porque se puede formar un trapecio con esa cantidad de puntos, como se muestra en los ejemplos a continuación. Cabe destacar que tener un punto en la fila superior se aleja un poco de la idea de ser un trapecio, pero está permitido para estos números.
EL RETO
¿Qué números se pueden expresar como un número trapezoidal de una sola manera?
EXPLORACIÓN
¿Puedes encontrar una manera de predecir de cuántas formas un número puede expresarse como un número trapezoidal?
Notas
EL DESAFÍO Y LA EXPLORACIÓN
Para familiarizarte con esto, enumera todas las formas de escribir números como suma de números consecutivos. Escribir muchos ejemplos suele ser una buena manera de buscar patrones y obtener ideas.
- 1: no
- 2: no
- 3: 1 + 2
- 4: no
- 5: 2 + 3
- 6: 1 + 2 + 3
- 7: 3 + 4
- 8: no
- 9: 4 + 5; 2 + 3 + 4
- 10: 1 + 2 + 3 + 4
- 11: 5 + 6
- 12: 3 + 4 + 5
- 13: 6 + 7
- 14: 2 + 3 + 4 + 5
- 15: 7 + 8; 4 + 5 + 6; 1 + 2 + 3 + 4 + 5
- 16: no
- 17: 8 + 9
- 18: 5 + 6 + 7; 3 + 4 + 5 + 6
- 19: 9 + 10
- 20: 2 + 3 + 4 + 5 + 6
Existe un patrón fácil de observar, y otros patrones más complejos.
No se pueden realizar los cálculos con 1, 2, 4, 8 y 16. Por lo tanto, es razonable suponer que las potencias de 2 no son números trapezoidales.
El 9 tiene dos maneras, el 15 tiene tres maneras y el 18 tiene dos. Para cada uno de ellos, el número de maneras es igual al número de números impares que dividen exactamente al número. Todas estas ideas conducen a la siguiente conjetura:
Conjetura: El número de maneras de escribir un número como suma de números consecutivos es igual al número de divisores impares mayores que 1 de ese número.
Por ahora, esto es suficiente. Si alguno de sus alumnos observó estos patrones, ¡excelente! Profundizaremos en este tema en las notas del próximo Rompecabezas de la Semana.