Somme uguali – 3
LA SFIDA
Ecco un diagramma creato sovrapponendo tre cerchi. La sovrapposizione dei cerchi crea sette regioni. Inserisci un numero in ciascuna delle sette regioni, utilizzando ciascuno dei numeri da 1 a 7 esattamente una volta, in modo che la somma dei numeri in ogni cerchio sia la stessa.
ESPLORAZIONE
Quante risposte diverse riesci a trovare? Come fai a sapere di averle trovate tutte?
Note
LA SFIDA E L'ESPLORAZIONE
La prima domanda da porsi in questi problemi è quali siano le possibili somme nei cerchi. Restringiamo il campo considerando la somma degli elementi in due modi. Siano A, B e C i tre valori in cui due cerchi si intersecano, sia M il valore in cui tutti e tre i cerchi si intersecano e sia Somma la somma comune a ciascun cerchio. La somma dei tre cerchi è 3 x Somma. Tale somma è anche la somma dei numeri da 1 a 7 più A + B + C più 2 x M. Pertanto, 3 x Somma = 28 + A + B + C + 2 x M.
Prima di procedere ulteriormente, notiamo che se partiamo da una soluzione qualsiasi, possiamo ottenere una nuova soluzione sottraendo tutte le voci da 8. Questo avrà l'effetto di sostituire la somma con 32 – somma. Per questo motivo, dobbiamo solo cercare i valori della somma fino a 16: i valori rimanenti più grandi possono essere ottenuti sottraendo le voci di quella soluzione da 8.
Il più piccolo valore possibile per A + B + C + 2 x M è 2 + 3 + 4 + 2 x 1 = 11. Quindi la più piccola somma possibile è (28 + 11) / 3 = 13. Di conseguenza, vogliamo vedere quali valori di somma da 13 a 16 sono possibili. Si scopre che sono tutti possibili.
Ecco una soluzione per ogni valore della somma che inizia da 13 e termina a 16. Ce ne sono molte altre.
