Produsul este egal cu suma
PROVOCAREA
Să presupunem că aveți cinci numere întregi pozitive, A, B, C, D și E, astfel încât următoarea afirmație este adevărată. Care este cea mai mare valoare posibilă a oricăruia dintre aceste numere?
A x B x C x D x E = A + B + C + D + E
EXPLORARE
Ce s-ar întâmpla dacă ai avea un număr diferit de numere în acest tip de ecuație?
notițe
PROVOCAREA
În timp ce privești problema, îți dai seama că vrei să profiți de faptul că, pe măsură ce numerele cresc, suma nu va crește nici pe departe la fel de repede ca produsul. Un lucru simplu de făcut este să transformi suma într-un produs, după cum urmează.
Presupunem că numerele A, B, C, D și E sunt în ordine descrescătoare, astfel încât A este cea mai mare valoare (poate fi la egalitate cu altele). Atunci A + B + C + D + E ≤ 5A. Prin urmare, A x B x C x D x E = A + B + C + D + E ≤ 5A. Prin urmare, avem B x C x D x E ≤ 5. Deoarece acestea sunt numere întregi, avem foarte puține posibilități de analizat!
Fiecare dintre acestea va fi listată în ordinea B, C, D, E.
- 5, 1, 1, 1: Atunci A x 5 x 1 x 1 x 1 = A + 5 + 1 + 1 + 1, deci 5A = A + 8. Aceasta ar însemna că A este 2, ceea ce nu se poate întâmpla deoarece A ar trebui să fie cea mai mare valoare.
- 4, 1, 1, 1: Atunci A x 4 x 1 x 1 x 1 = A + 4 + 1 + 1 + 1, deci 4A = A + 7. Aceasta ar însemna 3A = 7, ceea ce este imposibil.
- 3, 1, 1, 1: Atunci A x 3 x 1 x 1 x 1 = A + 3 + 1 + 1 + 1, deci 3A = A + 6. Aceasta ar însemna 2A = 6, deci A = 3. Aceasta dă soluția 3 x 3 x 1 x 1 x 1 = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9.
- 2, 1, 1, 1: Atunci A x 2 x 1 x 1 x 1 = A + 2 + 1 + 1 + 1, deci 2A = A + 5. Aceasta ar însemna A = 5. Soluția este următoarea: 5 x 2 x 1 x 1 x 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10.
- 1, 1, 1, 1: Atunci A x 1 x 1 x 1 x 1 = A + 1 + 1 + 1 + 1, deci A = A + 4, ceea ce este imposibil.
● 2, 2, 1, 1: Atunci A x 2 x 2 x 1 x 1 = A + 2 + 2 + 1 + 1, deci 4A = A + 6. Aceasta ar însemna A = 2. Soluția este 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8.
Prin urmare, există trei soluții: 3, 3, 1, 1, 1; 5, 2, 1, 1, 1; și 2, 2, 2, 1, 1. Cel mai mare număr care apare în oricare dintre acestea este 5.
EXPLORARE
O analiză foarte similară poate fi făcută pentru orice număr de numere. Cu cât numerele sunt mai mari, cu atât apar mai multe aspecte de analizat.
Pentru numerele 2, 3 și 4 obținem:
- 2 x 2 = 2 + 2
- 3 x 2 x 1 = 3 + 2 + 1
- 4 x 2 x 1 x 1 = 4 + 2 + 1 + 1
Dincolo de aceste răspunsuri specifice, după o serie de exemple, este „clar” că atunci când există n numere, cel mai mare număr va fi întotdeauna „n”, asociat cu soluția nx 2 x 1 x 1 x … x 1 = n + 2 + 1 + 1 + … + 1.