Umplerea triunghiurilor cu triunghiuri
Un triunghi regulat este unul ale cărui laturi și unghiuri sunt toate egale (este echilateral și echiunghiular). Iată cum se umple un triunghi regulat mare cu 1, 4 sau 7 triunghiuri regulate.
PROVOCAREA
Găsește alte numere de triunghiuri regulate pentru umplerea unui triunghi regulat mare. Poți face același lucru pentru 2, 3, 5, 6, 8, 9 sau 10 triunghiuri regulate?
EXPLORARE
Când este posibil, găsiți mai multe modalități de a obține unele dintre aceste numere.
notițe
PROVOCAREA
Iată o modalitate sistematică de a construi diverse numărători.
Pătrate: Un bun punct de plecare este cu numerele pătrate. Este ușor să umpli un triunghi cu triunghiuri 1, 4 și 9, umplându-l cu modelul regulat folosit în ilustrația următoare.
Numere pare: După câteva experimente, puteți crea modele pentru 6, 8, 10 sau orice alt număr par mai mare, după cum urmează. Începeți cu un triunghi mare și apoi plasați triunghiuri mai mici de-a lungul uneia dintre laturi.
Înlocuirea unui triunghi: Următorul pas important este de a vedea că orice triunghi dintr-o soluție poate fi înlocuit cu orice altă soluție existentă. De exemplu, acest lucru a fost făcut la producerea modelului pentru 7 în introducere - triunghiul din centru pentru „4” a fost înlocuit cu patru triunghiuri mai mici pentru a produce „7”.
Ori de câte ori un triunghi este înlocuit cu patru triunghiuri, numărul total de triunghiuri va crește cu 3. Începeți cu lista de soluții folosind numere pătrate și numere pare: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 și 16, apoi adăugați 3 la fiecare intrare din acea listă pentru a obține 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 și 17. Combinarea acestor două liste oferă toate posibilitățile până la 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 și 17. Folosind aceste idei, fiecare număr peste 17 este destul de ușor, așa că ajungem la concluzia că:
Răspuns: Toate numerele sunt posibile, cu excepția 2, 3 și 5.
EXPLORARE
Unele dintre aceste numere pot fi obținute în mai multe moduri. De exemplu, 9 poate fi realizat ca un model 3 pe 3 sau ca 6 plus încă trei. Desigur, există și alte modalități interesante de a completa un triunghi.