Pan Balance – 2
Eine Waage zeigt an, ob beide Seiten die gleiche Gewichtsmenge tragen oder ob eine Seite schwerer ist als die andere.
DIE HERAUSFORDERUNG
Du hast einige Münzen. Alle Münzen bis auf eine wiegen gleich viel. Die verbleibende Münze ist gefälscht und nur minimal leichter oder schwerer (du weißt nicht, welches von beiden). Wie viele Münzen sind maximal möglich, um mit nur zwei Wägungen die Fälschung zu identifizieren?
ERKUNDUNG
Untersuchen Sie es mit drei Wägungen und einer größeren Anzahl an Münzen. Wie viele Münzen können Sie verwenden, um die Fälschung in drei Wägungen zu erkennen? Und wie sieht es mit vier Wägungen aus – können Sie die Fälschung unter 16 Münzen mit vier Wägungen bestimmen?
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Die maximale Anzahl beträgt vier für zwei Wägungen.
Beginnen Sie damit, zwei Münzen auszuwählen und diese gegeneinander abzuwägen.
Wenn die Gewichte übereinstimmen, ist eine der beiden verbleibenden Münzen gefälscht. Wählen Sie eine der beiden ursprünglichen Münzen und wiegen Sie sie gegen eine der beiden verbleibenden. Stimmen die Gewichte überein, ist die letzte Münze gefälscht; stimmen sie nicht überein, ist die Münze, die nicht zum ursprünglichen Paar gehörte, gefälscht.
Wenn sie nicht gleich schwer sind, ist eine der beiden Münzen gefälscht und die beiden anderen sind echt. Wähle eine der beiden Originalmünzen und eine der beiden verbleibenden Münzen und vergleiche ihr Gewicht. Die Vorgehensweise ist dann ähnlich wie im vorherigen Fall.
ERKUNDUNG
Bei drei Wägungen beträgt die maximale Anzahl 13. Die Logik für drei Wägungen mit 12 oder 13 Münzen ist recht komplex. Anstatt sie hier zu wiederholen, verweisen wir auf den Wikipedia-Artikel „Waagerätsel“. Es existiert außerdem umfangreiche mathematische Literatur zu Waagschalenproblemen.
Um das Rätsel zu lösen, wie man mithilfe von vier Wägungen die gefälschte Münze unter 16 Münzen findet, wiegt man zunächst zwei Vierergruppen gegeneinander. Stimmen die Gewichte überein, verwendet man vier dieser vier Münzen, um vier der verbleibenden Münzen zu testen. Stimmen die Gewichte nicht überein, verwendet man vier der verbleibenden Münzen, um eine der ersten beiden Gruppen zu testen. In jedem Fall hat man die Möglichkeiten nun auf eine Vierergruppe mit zwei verbleibenden Wägungen eingegrenzt. Zu diesem Zeitpunkt sind uns außerdem 12 reguläre Münzen bekannt.
Verwenden Sie zwei der regulären Münzen, um zwei der Münzen aus der speziellen Vierergruppe zu testen. Stimmen die Münzen überein, befindet sich die Fälschung unter den verbleibenden zwei. Stimmen sie nicht überein, ist eine dieser beiden Münzen aus der Vierergruppe die Fälschung. Testen Sie nun eine der beiden Münzen mit einer regulären Münze. Dadurch wird endgültig festgestellt, welche der beiden Münzen die Fälschung ist.