Grenzen überschreiten
Diese beiden Rechtecke wurden mithilfe einer roten Linie halbiert.
Im 3x5-Rechteck: Die rote Linie schneidet 6 Seiten kleiner Quadrate. Stimmen Sie zu?
Im 4 mal 6 Rechteck: Die rote Linie schneidet auch 6 Seiten kleiner Quadrate. (Wir zählen nicht den Punkt, an dem die Linie durch die Ecke eines Quadrats verläuft.)
DIE HERAUSFORDERUNG
Hier ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 36 und 42, das durch eine rote Linie halbiert wurde. Wie viele Seiten kleiner Quadrate schneidet die rote Linie?
ERKUNDUNG
Was passiert bei Rechtecken anderer Größen? Welche Muster lassen sich erkennen?
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG & ERKUNDUNG
Eine Diagonale verläuft genau dann durch eine Ecke eines Rechtecks, wenn die Änderung von Höhe und Breite die Höhe und Breite des Rechtecks gleichmäßig teilt.
Betrachten wir das 4x6-Quadrat aus der Einleitung. Da 2 ein gemeinsamer Teiler von 4 und 6 ist, können wir das größere 4x6-Quadrat in zwei 2x2-Quadrate zerlegen, die jeweils 4x6 und 6x2-Quadrate umfassen. Die Diagonale des 4x6-Quadrats ist in zwei dieser 2x3-Quadrate die Diagonale und verläuft durch die Ecke zwischen ihnen.
Im anderen einführenden Beispiel des 3 mal 5 Rechtecks ist der größte gemeinsame Teiler 1, sodass die Diagonale durch keine Ecke verläuft.
Angenommen, das Rechteck hat die Seitenlängen n mal m und der größte gemeinsame Teiler von n und m ist c.
c = 1: In diesem Fall schneidet die Diagonale alle n – 1 inneren horizontalen Linien und alle m – 1 inneren vertikalen Linien. Sie schneidet also insgesamt n + m – 2 Seiten des Kastens.
c > 1: Teile die Diagonale in c Teile. Jeder Teil der Diagonale ist eine Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen n/c × m/c, wobei der größte gemeinsame Teiler von n/c und m/c gleich 1 ist. Somit schneidet jeder Teil der Diagonale n/c + m/c – 2 Seiten des Rechtecks. Alle Teile zusammen schneiden c × (n/c + m/c – 2) = n + m – 2c Seiten des Rechtecks.
Die allgemeine Antwort lautet n + m – 2c. Wenden wir dies auf die beiden einführenden Beispiele und das Herausforderungsrätsel an.
Bei einem Rechteck mit den Seitenlängen 3 und 5 ist c gleich 1 und die Antwort lautet 3 + 5 – (2 x 1) = 8 – 2 = 6.
Bei einem Rechteck mit den Seitenlängen 4 und 6 ist c gleich 2 und die Antwort lautet 4 + 6 – (2 x 2) = 10 – 4 = 6.
Für die Aufgabe mit dem Rechteck 36 x 42 ist c gleich 6 und die Antwort lautet 36 + 42 – (2 x 6) = 78 – 12 = 66.