Gleiche Summen – 3
DIE HERAUSFORDERUNG
Hier ist ein Diagramm, das durch Überlappung dreier Kreise entsteht. Die überlappenden Kreise bilden sieben Bereiche. Trage in jeden der sieben Bereiche eine Zahl ein, wobei jede der Zahlen von 1 bis 7 genau einmal verwendet werden darf, sodass die Summe der Zahlen in jedem Kreis gleich ist.
ERKUNDUNG
Wie viele verschiedene Antworten können Sie finden? Woran erkennen Sie, dass Sie alle gefunden haben?
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG & ERKUNDUNG
Die erste Frage bei diesen Aufgaben ist, welche Summen in den Kreisen möglich sind. Um dies einzugrenzen, betrachten wir die Summe der Einträge auf zwei Arten. Seien A, B und C die drei Werte, an denen sich zwei Kreise schneiden, M der Wert, an dem sich alle drei Kreise schneiden, und Summe die gemeinsame Summe in jedem Kreis. Die Summe der drei Kreise ist 3 × Summe. Diese Summe ist auch die Summe der Zahlen von 1 bis 7 plus A + B + C plus 2 × M. Daher gilt: 3 × Summe = 28 + A + B + C + 2 × M.
Bevor wir fortfahren, ist anzumerken, dass wir von jeder Lösung eine neue erhalten, indem wir alle Einträge von 8 subtrahieren. Dadurch wird die Summe durch 32 – Summe ersetzt. Aus diesem Grund müssen wir nur nach Werten für die Summe bis 16 suchen – die übrigen größeren Werte erhalten wir, indem wir diese Lösungseinträge von 8 subtrahieren.
Die kleinste mögliche Summe von A + B + C + 2 × M ist 2 + 3 + 4 + 2 × 1 = 11. Die kleinste mögliche Summe ist also (28 + 11) / 3 = 13. Wir möchten nun herausfinden, welche Summenwerte zwischen 13 und 16 möglich sind. Es stellt sich heraus, dass alle möglich sind.
Hier ist eine Lösung für jeden Summenwert von 13 bis 16. Es gibt noch viele weitere.
