Trouver des rectangles dans des carrés
Dans cette grille, sont dessinés en rouge un rectangle de 1 par 1 (carré), un rectangle de 2 par 1 et un rectangle de 1 par 3.
LE DÉFI
Comptez le nombre total de rectangles que vous pouvez former dans cette grille 4 par 4.
EXPLORATION
Calculez le nombre de rectangles dans une grille 2x2 et dans une grille 3x3. Comparez ces résultats à celui obtenu pour la grille 4x4. Quel est le schéma observé ? Pouvez-vous l’expliquer ?
Remarques
LE DÉFI ET L'EXPLORATION
L'élève attentif trouvera 36 rectangles. L'essentiel est d'adopter une démarche organisée. Voici le nombre de rectangles pour chaque type :
- 1 x 1 - 9
- 1 x 2 - 6
- 1 x 3 - 3
- 2 x 1 - 6
- 2 x 2 - 4
- 2 x 3 - 2
- 3 x 1 - 3
- 3 x 2 - 2
- 3 x 3 - 1
En additionnant ces valeurs, on obtient 9 + 6 + 3 + 6 + 4 + 2 + 3 + 2 + 1 = 36 rectangles. Pour une grille n x n, le nombre de rectangles est :
- 2 x 2 – 1 = 12
- 3 x 3 – 9 = 32
- 4 x 4 – 36 = 62
- 5 x 5 – 100 = 102
- 6 x 6 – 225 = 152
Ce sont tous des carrés. Que représentent les nombres 1, 3, 6, 10 et 15 ? Ce sont des nombres triangulaires, et ils correspondent également au nombre de façons de choisir deux éléments parmi n éléments.
Pour comprendre ce principe, examinons comment un rectangle est défini à l'intérieur d'un carré. Comme illustré, chaque rectangle est déterminé en choisissant ses deux côtés verticaux et ses deux côtés horizontaux. À chaque position choisie pour les côtés correspond un rectangle.
Le nombre de rectangles est donc égal au nombre de façons de faire ces choix. Dans une grille 4x4, il y a 4 lignes verticales et 4 lignes horizontales parmi lesquelles choisir. Il y a 6 façons de choisir 2 éléments parmi 4. Le nombre de rectangles est donc de 6 x 6 = 36.
Le même raisonnement s'applique aux grilles carrées de tailles différentes.
